MATEMATIKA KEUANGAN - MAKALAH PENERAPAN EKONOMI

TUGAS MATEMATIKA KEUANGAN

Disusun Oleh :

OCTAVANI

3123081

Jurusan DIII Akuntansi 1C

Politeknik Pos Indonesia Tahun Ajaran 2012-2013

PENERAPAN EKONOMI

1. MODEL BUNGA MAJEMUK

Bunga majemuk dapat digunakan untuk menghitung jumlah di masa datang dari jumlah sekarang suatu pinjaman atau tabungan

Fn = P mⁿ

Ket  :

F  = Jumlah pinjaman atau tabungan setelah n  tahun

P = jumlahnya sekarang (tahun ke-0

i = tingkat bunga per tahun

m = frekuensi pembayaran bunga dalam setahun

n = jumlah tahun

jika m sangat besar, bunga diperhitungkan sangat sering (terus menerus) dalam setahun, jumlah dimasa datang tersebut dapat dirumuskan menjadi :

majemuk sinambung

Fn ≈Peìⁿ*)

                                      

  E ≈ 2,72
bentuk ini dinamakan model bunga majemuk sinambung.dalam kasus pinjam meminjaman sering kali dipraktekan oleh para pelepas uang,yang kadang-kadang menetapkan atau memperhitungkan bunga atas uang yang dipinjamnya secara harian (m =360).

Kasus 30

Seorang ibu rumahtangga meminjam uang Rp. 5jt pada seorang pelepas uang untuk jangka waktu 2tahun. Bunga setingkat 10% pertahun diperhitungkan secara harian (dalam bisnis: 1tahun=360 hari). Hitunglah jumlah yang harus dibayarkan oleh debitor pada saat hutangnya jatuh tempo.

I.                   Dengan rumus bunga majemuk biasa : Fn = P(1+ )^mn

(a)    Tanpa menggunakan logaritma :

F₂ = 5.000.000 (1+ )^{360  x 2}

    = 5.000.000 (1,0003)⁷²⁰

    = 5.000.000 (1,24) = 6.200.000

(b)   Dengan menggunakan logaritma :

F₂= 5.000.000 (1,0003)⁷²⁰

log F₂ = log 5.000.000 + 720 log 1,0003

log F₂ = 6,70 + 0,09

log F₂ = 6,79  F₂ = 6.200.000

II.                Dengan rumus bunga majemuk sinambung : F_n  Peⁱⁿ

(a)    Tanpa menggunakan logaritma

F₂  5.000.000 e ^{0,10 x 2}

5.000.000 e ^0,20  5.000.000 (1,22)  6.100.000

(b)   Dengan menggunakan logaritma

F₂  5.000.000 e ^0,20

In F₂  In 5.000.000 + 0,20 In e

In F₂  15,42 + 0,20

In F₂  15,62  F₂  6.100.000

            Jadi, jumlah pelunasan hutang tersenut adalah sekitar Rp. 6,10 juta atau tepatnya

Rp. 6,20 juta.

2. MODEL PERTUMBUHAN

Pt =  P1Rt-1

R =1+r

             

ket  :

Pt = (jumlah penduduk) sebagai variabel terikat

t = (waktu) variabel bebas

            agar model diatas dapat diterapkan secara umum terhadap segala macam variabel, maka perlu dilakukan sedikit perubahan notasi menjadi :

N1 = N1 Rt-1

 N = variabel yang sedang diamati, r = presentase pertumbuhan pertahun

R = 1 + r

Kasus 31

Lembaga penelitian Ekonomi Nasional memulai operasinya dengan 10 orang peneliti. Setiap tahun setiap peneliti merekrut 2 orang peneliti baru. Berapa orang jumlah tenaga peneliti dilembaga tersebut setelah beroperasi 5 tahun?

N₁ = 10                                            N_t = N₁ R^t-1

R = 1 + 2                                       N₅ = (10)(3)^5-1

T = 5                                                  = (10)(81) = 810 0rang

 3. Kurva Gompertz

Ada variabel-variabel tertentu yang mempunyai batas maksimum dalam kaitannya dengan perkembangan waktu. Variabel ini meningkat secara eksponensial selama jangka waktu tertentu,tetapi sesudah itu peningkatannya sangat kecil, atau bahkan tidak berarti, meskipun waktu terus berjalan.

Model pertumbuhan yang tepat untuk diterapkan adalah model pertumbuhan Gompertz,kurva gompertz,yang bentuk persamaannya :

   N = Jumlah variabel tertentu yang sedang diamati

                             r = tingkat pertumbuhan rata-rata (0<r<1)
                             a = proporsi pertumbuhan awal

                              c = batas jenuh pertumbuhan N (merupakan asimtot atas)

                               t = indeks waktu

Kurva Gompertz mempunyai  2 tipe dasar yakni :

 

                          N = c

                      Batas jenuh                                                                                                                               

                                                                                                                                  Tipe 1 : 0 < a <

                                                                                                                                   Tipe 2 :

Kurve tipe 1 meningkat dengan pertambahan yang membesaruntuk nilai-nilai t positif yang kecil, tetapi meningkat dengan pertambahan yang mengecil(negatively accelerated) untuk nilai t positif yang besar. Sedangkan kurva tipe 2 meningkat dengan pertambahan yang mengecil untuk pertambahan nilai t positif.  

Kasus 33

Sebuah pasar swalayan (supermarket) di Jakarta memperkerjakan 20 orang karyawan pada permulaan operasinya. Karena usahanya berkembang, jumlah karyawan yang dipekerjakan meningkat rata- rata 25% per tahun. Berdasarkan pertimbangan bisnis, sang manajer memutuskan tidak akan memperkerjakan lebih daro 400 orang karyawan. Bentuklah persamaan oenggunaan tenaga kerja dipasar swalayan ini dalam hubungannya dengan perkembangan waktu. Berapa jumlah karyawan yang dipekerjakan setelah pasar swalayan tersebut beroperasi 4 tahun?

a = 20/400 = 0,05

c = 400                                               N =  

t = 0,25                                                 = (400)

untuk t = 4         N = (400)

                                       log N = log 400 + 0,25⁴ log 0,05

                           log N = 2,6021 + 0,0039 (- 1,3010)

                           log N = 2, 6021 – 0,0051

                           logN = 2,5970     N = 395, 3539

                                                            = 395 orang

Catatan :

model Gompertz ini relatif kompleks,.satu hal senantiasa harus diingat : bahwa r dalam persamaannya adalah menunjukan tingkat pertumbuhan rata-rata.

4. Kurva belajar

Dalam ekonomi ,kurva belajar cocok untuk menggambarkan perilaku produksi dan biaya dalam hubungannya dengan variabel waktu.

            Bentuk dasar persamaan kurva belajar adalah :

                                                                                    y  

y = m –

                                                         Y = m            s

K,m,s > 0

                                                                                                          (0,m-s)

                                                                                                                      

                                                                                                 0                                                          

Konstanta m melambangkan batas-jenuh y, atau y tertinggi yang dapat tercapai. Perhatikan bahwa jika x = 0, y = m-s

§  Untuk diterapkan pada kasus perilaku produksi dalam hubungannya dengan variabel waktu,notasinya dapat disesuaikan menjadi :

P = Pm – Ps

Dimana P melambangkan produksi persatuan waktu setelah t satuan waktu Pm menentukan kapasitas produksi maksimum per satuan waktu,P, mencerminkan sisa kapasitas produksi pada permulaan kegiatan produksi (pada t = 0), sedangkan r adalah tingkat pertumbuhan produksi.

5. Model efisiensi Wright

            “ setiap kali produksi dilipatgandakan (dinaikan menjadi 100%),waktu produksi rata-rata kumulatif berkurang dengan (1-r) persen”, dimana r adalah tingkat efesiensi waktu produksi. Dengan demikian (1-r) tak lain menunjukan presentase waktu rata-rata yang berhasil dihemat dari pelipatgandaan produksi.

Kasus 37

            Sebuah perusahaan menghabiskan waktu 10.000 jam-kerja untuk memproduksi 500 unit robot, tetapi hanya membutuhkan 6000 jam-kerja untuk memproduksi 500 unit berikutnya.hitunglah tingkat efisiensi waktu produksinya (r). Berdasarkan tingkat efisiensi ini, berapa jam-kerja total (T) diperlukan untuk memproduksi 2000 unit robot ?

Waktu rata-rata kumulatif untuk 500 unit = 10.000/500 = 20 j-k

Waktu rata-rata kumulatif untuk 1000 unit = 16000/1000 = 16 j-k

Penghematan waktu rata-rata = 20-16 = 4 j-k = 20%.

Waktu yang diperlukan untuk memproduksi 1000 unit pada “angkatan” produksi berikutnya (agar mencapai jumlah 2000 unit) adalah = 80% x 16 x 1000 = 12.800 jam-kerja

Jumlah waktu total (T) yang diperlukan untuk memproduksi 2000 unit robot = 10.000 + 6000 +12.800 = 28.800 jam kerja.

hubungan antara jumlah produksi dan tahap pelipatgandaan produksi dapat diterangkan dengan persamaan :

Q = qk =

           

Untuk kasus 37 diatas, kita dapat membuat daftar sebagai berikut :

K = 0	1	2	3	4	5
Q = 500	1000	2000	4000	8000	16000

Jika q 0 = 1 unit (produksi perdana hanya 1 unit), notasi persamaan diatas dapat disederhanakan menjadi :

Q =

Dengan melogaritmakan persamaan eksponensial ini, diperoleh bentuk :

Log q = log

Log q = k log 2,

            K = log q/log 2

            K = log q/0,3010

Hubungan eksponensial antara produksi rata-rata kumulatif (t) dan tahap pelipatgandaan produksi (k) ditunjukan oleh persamaan :

Dengan melogaritmakan diperoleh :

Log t = log a + k log r

Karena k = (log q/0.3010)log r,maka:

Log t = log a + (log q/0.3010) = b, diperoleh :

            Log t = log a + b log q

bentuk anti log persamaan inilah yang disebut model efisiensi Wright, yakni :

T = a

                                            

B =

Waktu produksi total dapat dihitung dengan cara mengalikan waktu produksi rata-rata kumulatif (t) tadi terhadap jumlah produksinya (q).

T = t x q =  x q =

Kasus 38

            Berdasarkan data kasus 37, dirumuskanlah persamaan efisiensi wright-nya. Hitunglah waktu rata-rata kumulatif dan waktu total untuk memproduksi 2000 unit robot.

R = 80% = 0.8          b =

Mencari nilai a :

T = ;  untuk q = 500, t = 10.000/500=200

20 = a                a =

                                                        A = 20(7.3926) = 147,85

Persamaan waktu totalnya :

               

             

Untuk q = 2000    

                               jam-kerja

                              T = t x q = 13,31 x2000 = 26.620 jam-kerja

 

20

 16                                                            Kurva efisiensi wright

                                                               

13,31

10

0                                                                                                            q

           500      1000           2000                           4000